Término general de una progresión geométrica

La fórmula del término general de una progresión geométrica (a_n) se encuentra sin más que observar que:

                                                   a₂ = a₁ · r

                                    a₃ = a₂ · r = (a₁ · r) · r = a₁ · r²

                                    a₄ = a₃ · r = (a₁ · r²) · r = a₁ · r³

                                    a₅ = a₄ · r = (a₁ · r³) · r = a₁ · r⁴

                                .......................................................

Nótese que, en todos los casos, el término correspondiente es el producto de dos cantidades:

- La primera es siempre a₁

- La segunda es una potencia de base r y exponente un cierto número, que se obtiene restando una unidad al subíndice.

En definitiva, la expresión del término general es:

                                           a_n = a₁ · r^{n - 1}

· Si la razón de una progresión geométrica es mayor que uno, la progresión es creciente, es decir, cada término es mayor que el anterior.

· Si la razón de una progresión geométrica está comprendida entre cero y uno, la progresión es decreciente, es decir, cada término es menor que el anterior.

· Si la razón de una progresión geométrica es igual a uno, la progresión es constante, es decir, tiene todos los términos iguales.

· Si la razón de una progresión geométrica es menor que cero, la progresión es alterna, es decir, sus términos son alternativamente positivos y negativos.

Ejercicio:

Resolución:

· Se trata de una progresión geométrica de razón r = 3 y primer término

· El término general es, por tanto:

                                              a_n = 3^{n - 2}

‚ ¿Cuál es el término general de la progresión -1, 2, -4, 8, -16, ...?

Resolución:

· Es una progresión geométrica en la que el primer término a₁ vale -1, y la razón es:

· Su término general es, pues:

                                              a_n = -1 · (-2)^{n - 1}

Este tipo de progresiones geométricas recibe el nombre de progresión geométrica alternada.