Valor absoluto

Es una aplicación f : Z® Z que a cada m Î Z, le asocia |m|

Propiedades del valor absoluto en Z

1. |a| ³ 0
2. |a| = 0 Û a = 0
3. |a·b| = |a|·|b|
4. |a + b| £ |a| + |b|
5. k>0 y |a| £ k Û –k £ a £ k

Demostremos la propiedad |a + b| £ |a| + |b|:

Se presentan tres casos:

* a y b ³ 0 Þ a + b ³ 0 Þ |a + b|=a + b=|a| + |b|

* a y b < 0  Þa + b <0 Þ |a + b| = –(a + b) = (–a) + (–b) = |a| + b|

* a³ 0 y b<0. Se presentan 2 casos:

1.    a ³ –b  Þ a + b ³ 0 Þ |a + b| = a + b = |a| – |b|  £ |a| + |b|
2.    a < –b Þ a + b < 0 Þ |a + b| = –a + b = –|a| – |b|  £ |a| + |b|