Producto de términos consecutivos de una progresión geométrica

Continuando con la analogía observada, se encuentra la fórmula del producto de términos de una progresión geométrica.

Se denotará por P_n al producto a₁ · a₂ · ... · a_n.

Se tiene entonces:

                                             P_n   = a₁ ·a₂ ·a₃ ... a_{n -  2}  ·a_{n   - 1} ·a_n

Invirtiendo el orden                   P_n   = a_n ·a_{n  - 1} ·a_{n   - 2} ... a₃  ·a₂ ·a₁

                                           ______________________________

y multiplicando                  P_n ² = (a₁ ·a_n )(a₂ ·a_{n  - 1}) ... (a_{n  - 1} ·a₂)(a_n ·a₁ )

Ahora bien, por la propiedad de los términos equidistantes se sabe que:

                                a₁ ·a_n  = a₂ ·a_{n -  1} = a₃ ·a_{n -  2} = ... = a_n  ·a₁                     

Por tanto P_n ² = (a₁ ·a_n )ⁿ   y despejando:

Para determinar el signo, ha de estudiarse cada caso concreto.

Esta fórmula no sólo sirve para multiplicar los primeros términos de una progresión geométrica, sino que también es válida para multiplicar cualesquiera n términos consecutivos, al igual que se hace en las progresiones aritméticas.

Ejercicio:

Resolución:

· Es una progresión geométrica de razón r = 2

Para poder escribir dicho número serían necesarias 34 cifras, lo que da idea de la gran velocidad de crecimiento que tienen las progresiones geométricas.

‚ Calcular el producto de los siete primeros términos de la progresión

1, -2, 4, -8, ...

Resolución:

· Es una progresión geométrica de razón r  = -2

· a_n  = 1·(-2)^{n -  1}; a₇ = 1·(-2)⁶ = 64

Para determinar el signo, obsérvese que hay tres términos negativos y al ser este número impar, el producto de todos ellos es negativo.

Así pues, P₇ = -2²¹