Sucesión convergente

Toda sucesión que tenga límite se dice que es convergente.

Una sucesión (a_n  ) que tenga por límite I, se dirá que tiende a I o que converge a I.

Resolución:

·Se toma un e cualquiera (sin especificar más).

·Hay que encontrar un n_o   tal que para n ³ n_o , 0 - e < a_n  < 0 + e.

2. Decidir si la sucesión de término general

es convergente y, en caso afirmativo, hallar el límite.

Resolución:

· Para n =1, a₁ = -1/6 = -0,1666

Para n = 7, a₇ = 0,9166

a₁₀₀₀₀ = 1,9997001; a₃₀₀₀₀ = 1,9995667;...

Todo parece indicar que el límite de esta sucesión, cuando n tiende a infinito, es 2.

Para probarlo, se hará uso de la definición.

· Se toma un e cualquiera.

· Hay que ver a partir de qué n se cumple |a_n   - 2| < e.

13 < e(n + 5) = en + 5e Þ 13 - 5e < en.

En consecuencia, a₁₂₉₉₆, a₁₂₉₉₇, a₁₂₉₉₈ ... están todos contenidos en el

Primera propiedad de las sucesiones convergentes

a) Si una sucesión (a_n  ) tiene límite I positivo, existe un término a partir del cual

todos los términos de la sucesión son positivos.

b) Si una sucesión (a_n  ) tiene límite I negativo, existe un término a partir del cual

los términos de la sucesión son negativos.

c) Si una sucesión converge a cero, no se puede asegurar nada acerca del signo de cada uno de los términos de la sucesión.

Demostración:

·Por definición de límite de una sucesión, existe un subíndice n₀  tal que para

adelante, los que le siguen son positivos.

El razonamiento es análogo al del caso anterior.

son alternadamente positivos y negativos.

Sucesiones alternadas

Son aquellas que alternan los signos de sus términos (positivo, negativo, positivo).