Suma de todos los términos de una progresión geométrica ilimitada decreciente

Una progresión geométrica es decreciente (cada término es menor que el anterior),

La relevancia de este apartado es que se trata de sumar todos los términos de la progresión y no una parte de ellos. Obsérvese que en el caso de una progresión creciente (cada término mayor que el anterior), la suma de todos los términos de la misma será infinito, independientemente del valor de los términos. No ocurre así para el caso de progresiones decrecientes.

Partiendo de la fórmula

donde r es un número comprendido entre cero y uno y n el número de términos de la progresión (infinito), la potencia rⁿ es una cantidad tan pequeña (tiende a cero), que se puede despreciar. Recuérdese que el resultado de una potencia cuya base está comprendida entre cero y uno va disminuyendo a medida que aumenta el exponente.

Se tiene entonces:

                                                    o bien