Sucesiones divergentes

Una sucesión es divergente si los términos se aproximan cada vez más a infinito o a menos infinito (+¥ ó -¥ ). Expresado de forma rigurosa:

·Una sucesión (a_n  ) tiene por límite +¥ ó diverge a +¥ si elegido un número k tan grande como se quiere, se puede encontrar un subíndice n_o   tal que para cualquier

n ³ n_o  , a_n   > k.

Esto es equivalente a afirmar que para n ³ n_o  , a_n   está en el intervalo (k, +¥), es decir, los términos se hacen tan grandes como se quiera.

·Una sucesión (a_n  ) tiene por límite -¥ ó diverge a -¥ si elegido un número k tan

grande como se quiere, se puede encontrar un subíndice n_o   tal que para cualquier

n ³ n_o  , a_n   < -k.

Esto equivale a decir que para n ³ n_o  , a_n   pertenece al intervalo (-¥, -k).

Igual que en las sucesiones convergentes, para cada número k elegido, el subíndice n_o   será distinto. Cuanto mayor sea k, mayor resultará n_o   .

Sucesión oscilante

Una sucesión (a_n  ) se dice que es oscilante si no es convergente ni divergente.

Ejercicio:

� Probar que la sucesión a_n   = 5n² - 9 diverge a +¥.

Resolución:

·Se elige un número k tan grande como se desee. Por ejemplo k = 10⁸.

·Hay que encontrar los valores de n para los cuales a_n >10⁸, es decir, 5n²- 9 >10⁸.

·En 5n² - 9 > 10⁸ se suma 9 a los dos miembros: 5n² > 10⁸ + 9 = 100 000 009.

A partir del término a_{4 473}, a_n   > 10⁸.

‚ ¿Tiene límite la sucesión a_n   = (-1)ⁿ  ·3?

Resolución:

· Los términos de esta sucesión son:

-3, 3,  -3,3,  -3,3, ...

·La sucesión a_n   = (-1)ⁿ  ·3 es oscilante.

· Se ha de probar que no tiene límite: los posibles límites son 3 y -3.

Si se toma e = 1, los términos impares a_2n-1 = -3 no éstan en el intervalo

(I - e, I + e) = (2, 4). No se puede encontrar un n₀  a partir del cual todos los términos están dentro del intervalo (2, 4).

Si se toma e = 1, los términos pares a_2n  = 3 no se encuentran en (I - e, I + e) =

(-4, 2). No se puede encontrar un n₀ a partir del cual todos los términos estén dentro del intervalo (-4, 2).

Por lo tanto la sucesión es oscilante.

Es fácil caer en la tentación de tomar el intervalo (-4,10) y pensar que puesto que todos los términos de la sucesión pertenecen a él, la sucesión debería tener límite.

Sin embargo, la definición de límite obliga a que elegido un e cualquiera todos, salvo una cantidad finita de términos, queden en el intervalo (I - e, I + e). Basta, pues, elegir un e para el que no se cumpla esta premisa y concluir que la sucesión no tiene límite.