El problema del límite

Encontrar el límite de una sucesión es un problema que consiste en determinar a qué número, si es que existe, se aproximan sus términos.

al aumentar n (el número de orden), a_n   está cada vez más próximo a cero:

1. Ningún término de la sucesión llega a valer cero.

2. Elegido un entorno centrado en cero, por pequeño que éste sea, siempre se encuentra un término tal que a partir de él todos los términos de la sucesión están dentro de ese entorno.

Por ejemplo, si se elige el entorno (-0,0001 ; 0,0001), a partir del término a₁₀₀₀₀, todos los demás términos (a_n  , n > 10 000) están en dicho entorno.

En efecto:

· a₁₀₀₀₀  = 0,0001. Coincide con uno de los extremos del intervalo y, por definición, no tiene cabida en él.

(-0,0001 ; 0,0001).

· Si n > 10 001, a_n   < a₁₀₀₀₁ < 0,0001

· Se concluye que si n > 10 000, a_n   Î (-0,0001; 0.0001).

Este ejemplo pone las cosas a punto para comprender la definición de límite de una sucesión.

LÍMITE DE UNA SUCESIÓN

Dada una sucesión (a_n), se dice que (a_n) tiene por límite I, tiende a l  o converge a l  cuando n tiende a infinito (¥), y se simbolizará

o más simplificadamente

                                               (a_n) ® I,

si para todo e > 0 (épsilon) tan pequeño como se quiera, existe un subíndice n₀ tal que para todo n ³ n₀, a_n pertenece al entorno (I - e, I + e).

Es decir, a partir de un elemento en adelante todos caen en el entorno citado.

Esto significa que para n ³ n₀, | a_n   - I | < e.

Y recordando el significado de valor absoluto, | a_n   - I | < e se traduce en

-e < a_n - I < e, y sumando I a los tres miembros de la desigualdad, I -e < a_n < I + e.

EL número n₀  que se ha de encontrar para cada e, depende de éste.