Suma de varios términos consecutivos de una progresión geométrica

Se denotará por S_n a la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica:

                                 S_n    = a₁ + a₂ + ... + a_{n  - 1} + a_n

Para obtener una fórmula que permita hacer este cálculo de un modo rápido, se multiplican ambos miembros de la igualdad por la razón:

                                S_n  · r = (a₁ + a₂ + ... + a_{n  - 1} + a_n   ) · r

                            S_n   · r  = a₁  ·r  + a₂ ·r  + ... + a_{n  - 1} ·r  + a_n   ·r,

y teniendo en cuenta que al multiplicar un término por la razón se obtiene el término siguiente,

                                S_n   · r   = a₂ + a₃ + ... + a_n   + a_n   · r

Restando ahora a esta igualdad la primera:

                                S_n   · r   = a₂ + a₃ + ... + a_n   + a_n   · r

                                    S_n    = a₁ + a₂ + ... + a_{n  - 1} + a_n

                                          ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾

                                                   S_n   · r   - S_n    = -a₁ + a_n   · r

                                        S_n   (r   - 1) =  a_n   · r  - a₁

Despejando S_n,

Esta fórmula que da la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica tiene otra versión igualmente útil si se expresa el término general a_n como a₁ · r^{n - 1}:

Ejercicio:

� Sumar los quince primeros de la progresión geométrica 3/2, 9/2, 27/2 ...

Resolución:

‚ Sabiendo que 3 es el primer término de una progresión geométrica y 1 875 el quinto, calcular la suma de esos cinco términos.

Resolución:

· a₅ = 1875 = 3·5⁴ = a₁·r⁴ Þ r⁴ = 5⁴ Þ r = ±5

ƒ Sumar los términos comprendidos entre el tercero y el vigésimo lugar de la

Resolución: