Tangente a una curva en un punto

El concepto de derivada facilita la definición de tangente a una curva en un punto como el límite de una secante que pasa por él y por otro punto cualquiera de la curva cuando éste último, recorriendo la curva, tiende a coincidir con el primero.

Propiedad

Si una función es derivable en un punto, necesariamente es continua en él.

Demostración:

Sea una función y = f(x) derivable en un punto x₀. Para probar que la función es continua en él, es preciso demostrar que

o lo que es equivalente, que

Pero

de donde, por ser f(x) derivable,

Esta propiedad evita el trabajo de estudiar la derivabilidad de una función en un punto donde ésta no sea continua.

Por el contrario, puede darse el caso de una función continua en todos los puntos y no ser derivable en alguno, e incluso infinitos puntos. Valga como ejemplo la función |x|, que siendo continua en todos los puntos de la recta real, no es derivable, como ya se ha comprobado, en el origen.