CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD

· Una función f(x) no lineal se dice que es convexa en un intervalo si f'' (x) ³ 0 en todo punto de dicho intervalo. Por la primera propiedad de las funciones derivables, esto significa que f'(x) es una función creciente en ese intervalo. Basta recordar el significado de la derivada para concluir que las pendientes de las tangentes a la curva en los puntos de abscisa del citado intervalo aumentan según se avanza de izquierda a derecha, por el eje de abscisas.

Es claro que en una función convexa las tangentes a la curva quedan por debajo de ésta.

· Una función f(x) se dice que es cóncava en un intervalo si f'' (x) £ 0 en todo punto de él. Por la segunda propiedad de las funciones derivables, es tanto como decir que la función f'(x) es decreciente, o lo que es equivalente, las pendientes de las tangentes a la curva disminuyen al recorrer de izquierda a derecha los puntos de abscisa del intervalo considerado.

En una tal función las tangentes a la curva quedan por encima de ésta.

· La gráfica de una función f(x) tiene un punto de inflexión en un punto de abscisa a, si en el punto (a,f(a)) la curva pasa de ser cóncava a convexa o viceversa.

¿Cómo se encuentran los puntos de inflexión?

Puesto que una función es convexa cuando f'' (x) ³ 0 y cóncava si f'' (x) £ 0 , y el punto de inflexión separa una concavidad de una convexidad, en él la segunda derivada, si existe, necesariamente ha de ser nula. Por tanto, si en a hay un punto de inflexión, f''(a) = 0.

Sin embargo, hay puntos en los que la derivada segunda es cero sin que existan puntos de inflexión en ellos.

Determinación de puntos de inflexión

1.º Los posibles puntos de inflexión de una función f(x) deben buscarse entre las soluciones de la ecuación f''(x) = 0.

2.º Si a es una de estas soluciones, hay que comprobar que separa un tramo de curva cóncavo de otro convexo; para ello se toma un número h suficientemente pequeño y se comprueba que f''(a + h) y f''(a - h) tienen signos distintos, todo lo cual indica que a un lado de a la curva es convexa y al otro cóncava.

3.º Por el contrario, si f''(a + h) y f''(a - h) tienen el mismo signo, la curva es totalmente cóncava o totalmente convexa en un entorno de a y prueba la no existencia de puntos de inflexión.

La tangente a una curva en un punto de inflexión corta a ésta, ya que en la parte cóncava la tangente queda por encima, mientras que en la convexa queda por debajo de la curva.

Ejemplo:

Resolución:

· Igualando a cero la segunda derivada y teniendo en cuenta que una fracción es cero cuando su numerador es cero,

· Puesto que el denominador es positivo, f''(x) es positivo cuando el numerador sea positivo, y negativo si el numerador es negativo.

pues para h < 1, 3h < 3 y 2 3,46, por lo que 3h - 2 < 0

Con estos datos se puede dibujar la curva con suficiente precisión.