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Optimización de funciones
La determinación de extremos de una función tiene otras aplicaciones que van más allá del trazado de curvas.
De todos los cilindros inscritos en una esfera de radio 3 dm, encontrar el de mayor volumen.
El volumen de un cilindro es igual al producto del área de la base por la altura:
siendo r el radio de la base del cilindro.
Por el teorema de Pitágoras,
Sustituyendo en la expresión de V,
Así, V es una función de h. Para calcular las medidas del cilindro de mayor volumen hay que encontrar el máximo de la función V(h).
Derivando respecto a h e igualando a cero,
Hay que comprobar que para este valor de h, V alcanza su valor máximo.
Llevando este valor a la expresión de r2,
‚ Hallar las dimensiones mínimas que debe tener una hoja de papel para contener una superficie útil de 54 cm2 con unos márgenes de 1,5 cm a derecha e izquierda y de 1 cm por arriba y por abajo.
Resolución:
Llamando x e y a las dimensiones del total de la hoja, y a y b a las dimensiones de la superficie útil,
S = x · y
a · b = 54
El problema se reduce a calcular el valor de a que hace S(a) mínimo; por tanto hay que encontrar el mínimo de S(a).
Derivando respecto a a e igualando a cero,
Para comprobar que en a = 9 hay un mínimo se calcula la derivada segunda de S:
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