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MÁXIMO Y MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN
Dada una función f(x), se dice que tiene un máximo relativo en un punto de abscisa a, si existe un intervalo (a - e, a + e) en el que f(x) < f(a) para cualquier punto x perteneciente a (a - e, a + e). El máximo es entonces el punto (a, f(a)) de la curva.
La función f(x) tiene un mínimo relativo en un punto b si hay un intervalo (b - d, b + d) en el que f(x) > f(b) para cualquier punto x perteneciente a (b - d, b + d). El mínimo es entonces el punto (b, f(b)) de la curva.
A los máximos y mínimos de una función se les da el nombre común de extremos relativos o simplemente extremos.
Es claro, como se ve en la gráfica, que una función puede tener más de un máximo y más de un mínimo.
Consecuencias
1. La tangente a una curva en cualquiera de sus extremos es paralela al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forma con dicho eje es de cero grados.
En consecuencia, la pendiente de dichas tangentes (tg 0º) es cero. Como estas pendientes coinciden con las derivadas de la función en los puntos de abscisa correspondientes, se deduce inmediatamente que f'(a) = 0 y f'(b) = 0, si en a y b existe un máximo o un mínimo.
2. De lo anterior se desprende que los extremos relativos de una función deben buscarse entre los valores que hacen cierta la igualdad f'(x) = 0.
No obstante, aún no se dispone de ningún método que permita determinar si las soluciones de la ecuación f'(x) = 0 son máximos, mínimos, o ni lo uno ni lo otro.
Todas estas consideraciones tienen sentido si la función es derivable en los extremos relativos, condición que, como ya se sabe y muestra la figura, no siempre se da.
Así, en el punto (a,f(a)) hay un mínimo relativo pero la función no es derivable en el punto a; por tanto, no existe f'(a).
Ejercicio: determinación de posibles puntos extremos
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¿Qué puntos de la función f(x) = 2x2 - 3 pueden ser extremos relativos?
Resolución:
Los posibles extremos relativos de la función f(x) = 2x2 - 3 se obtienen al resolver la ecuación
f'(x) = 2 · 2x = 0, de donde necesariamente x = 0
Aún así no se puede asegurar si en este punto hay máximo, mínimo o ni lo uno ni lo otro. Desde luego, si hay extremo relativo éste se encuentra en el punto de abscisa x = 0 que corresponde al punto (0,- 3).
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