PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES

Primera propiedad

Si una función f(x) tiene derivada positiva en un punto a, la función es estrictamente creciente en ese punto.

Demostración:

Si h > 0, forzosamente f(a + h) - f(a) > 0, o lo que es lo mismo, f(a + h) > f(a).

Si h < 0, f(a + h) - f(a) < 0, de donde f(a + h) < f(a), lo que prueba que la función es creciente en el punto a.

Segunda propiedad

Si una función f(x) tiene derivada negativa en un punto a, la función es estrictamente decreciente en ese punto.

Demostración:

Se razona de forma análoga al caso anterior.

lo que f(a + h) - f(a) < 0 para h > 0 ® f(a + h) < f(a) para h > 0, y

f(a + h) - f(a) > 0 para h < 0 ® f(a + h) > f(a) para h < 0

Todo esto prueba que la función f(x) es estrictamente decreciente en a.

Ejercicio:

 Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función y = f(x) = 2x³ - 5x² en los puntos de abscisa 1 y 2.

Resolución:

· Se deriva f(x): f'(x) = 6x² - 10x

· f' (1) = 6 · 1² - 10 · 1 = 6 - 10 = - 4 < 0.

La función es estrictamente decreciente en x = 1.

· f' (2) = 6 · 2² - 10 · 2 = 24 - 20 = 4 > 0

La función es estrictamente creciente en x = 2.

Tercera propiedad

Si una función tiene un máximo o un mínimo relativo en un punto a y existe f'(a), necesariamente f'(a) = 0.

Demostración:

· Si f'(a) fuese positivo, la función sería estrictamente creciente en a, cosa que no puede ocurrir al haber en a un extremo.

· Si f'(a) fuese negativo, la función sería estrictamente decreciente en a, lo que contradice el hecho de existir a en un extremo.

· En consecuencia, si existe f'(a), ha de ser f'(a) = 0.

Así pues, queda confirmado que los extremos de una función hay que buscarlos entre los valores que resuelvan la ecuación f'(x) = 0. Sin embargo, una función puede tener derivada nula en un punto y no poseer extremo relativo en ese punto.

Ejercicio:

 ¿En qué puntos se anula la derivada de la función f(x) = x³? ¿Son extremos relativos?

Resolución:

En el punto (0,0) no hay extremo relativo como fácilmente se observa en la gráfica.

Cuarta propiedad

Si f(x) es una función continua en un intervalo cerrado [a,b] y derivable en el abierto (a,b) con derivada cero en todos los puntos de [a,b], entonces la función es constante.

Sin que esto pueda considerarse como una demostración rigurosa, obsérvese que si la derivada es cero en todos los puntos, esto significa que en cada punto de la curva, la tangente es paralela al eje X, lo cual quiere decir que la gráfica de la función es una recta paralela al eje de abscisas.

La función es de la forma f(x) = C = cte.

Quinta propiedad

Si dos funciones f(x) y g(x) son continuas en el intervalo cerrado [a,b] y tienen la misma derivada en todos los puntos del intervalo abierto (a,b), las funciones f(x) y g(x) se diferencian en una constante.

Demostración:

· Se considera la nueva función h(x) = f(x) - g(x).

· Derivando, h'(x) = f'(x) - g'(x) = 0, puesto que f'(x) = g'(x).