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Integración de Racionales
1.El grado del numerador P(x) es mayor que el grado del denominador Q(x)
Realizamos la división de P(x) por Q(x) y llamando C(x) al cociente y R(x) al resto se ha de cumplir que:
P(x)=Q(x)C(x)+R(x)
Si R(x)=0 la división es exacta y si es distinto de cero el grado de R(x) será menor que el grado de Q(x). Dividiendo la igualdad anterior por Q(x), tenemos:
La integral se descompone en dos:
Si la división es exacta, la integral ha quedado reducida a una inmediata de tipo potencial, si no lo es actuaremos como se explicará en el caso B.3.
2. El grado de P(x) es igual al grado de Q(x):
Entonces el cociente es una constante y la integral queda reducida a:
La 1* inmediata y la segunda la estudiaremos en el caso B.2.
3. El grado de P(x) es menor que el grado de Q(x):
Seguimos el siguiente proceso:
- Obtenemos las raíces del polinomio denominador Q(x).y éstas pueden ser:
3.1. Raíces reales simples.
3.2. Raíces reales múltiples.
3.3. Raíces complejas simples.
3.4. Raíces complejas múltiples.
3.1. Raíces reales simples:
a) Podemos poner la integral racional así:
b) Descomponemos P(x)/Q(x) en fracciones simples de la forma:
c) Obtenemos los coeficientes Ai expresando ambos miembros de la igualdad anterior en común denominador que será Q(x) y utilizando el método de identificación de coeficientes o dando valores a arbitrarios a x y resolviendo el sistema de ecuaciones que resulte.
d) Integramos el segundo miembro en el que todas las integrales que aparecen son inmediatas de tipo logaritmo neperiano.
Ejemplo:
Hacemos:
Quedando la integral:
3.2. Raíces reales múltiples:
Si Q(x) es de grado n y sus raíces son r1, r2,...rm con órdenes de multiplicidad s1, s2,...sp (verificándose que s1+s2+...+sp=n). Se tiene que el radicando se puede descomponer así:
Es decir, de cada raíz múltiple con orden de multiplicidad s, obtenemos s+1 fracciones simples. Por identificación de coeficientes obtenemos las constantes y de ahí la integral queda recducida a inmediata:
Ejemplo:
El radicando se descompone así:
Quedando la integral:
3.3. Raíces complejas simples:
Supongamos el caso particular, para fijar ideas, de que el polinomio Q(X) fuese de 5: grado y sus raíces fuesen x=r1 (raíz real simple), x=r2 (raíz real de orden de multiplicidad 2) y x=a+bi, x=a-bi (raíces complejas simples conjugadas). Q(x) quedaría descompuesto así:
Los dos últimos términos pueden expresarse así:
Y la descomposición de Q(x) quedaría así:
Si sacamos 1/a0 fuera de la integral, el coeficiente principal de Q(x) es uno.
En la descomposición de  en fracciones simples las fracciones correspondientes a la raíz real simple y a la múltiple ya las hemos tratado en puntos anteriores. En cuanto a las raíces complejas simples obtendríamos, en el numerador un polinomio completo de primer grado Mx+N y en denominador la expresión (x-a)2+b2. Resolvamos una integral de este tipo:
Calculemos ahora I1 e I2
Y para la integral I tenemos:
Y para esta última integral nos queda:
Con lo cual finalmente queda:
Con lo que el problema está ya resuelto:
Ejemplo:
Las raíces del denominador son:
Quedando el radicando:
Con lo que:
3.4. Raíces complejas múltiples:
Aplicaremos el método de Hermite, descomponemos P(x)/Q(x) de la siguiente manera:
- Las raíces reales simples se descomponen como en el apartado B.3.1.
- Las raíces reales múltiples se descomponen como si fueran simples (sin tener en cuenta su orden de multiplicidad)
- Las raíces complejas simples se descomponen como en el caso B.3.3.
- Las raíces complejas múltiples se descomponen como si fueran simples (sin tener en cuenta su orden de multiplicidad).
- Se añade un término característico llamado de Hermite que se forma como:
- La derivada indicada con respecto a x de un cociente donde primero se colocará el denominador, el cual será el producto de las expresiones en la descomposición factorial de las raíces reales múltiples y las raíces complejas múltiples, elevadas a exponentes que son sus grados de multiplicidad respectivos menos uno.
- Se expresará el numerador, que será un polinomio en x, completo de coeficientes indeterminados y de grado inferior en una unidad al polinomio del denominador
- Se deriva este último término con relación a x
- Se expresan ambos términos con el común denominador Q(x).
- Se calculan los coeficientes indeterminados.
- Se integra la expresión resultante.
Ejemplo:
El denominador tiene una raíz real simple x=1 y dos raíces complejas dobles 
El denominador pues, puede ser descompuesto así:
La descomposición de Hermite es:
Identificando coeficientes tenemos:
De donde
De donde resulta el sistema:
Que resuelto da:
Y la integral pedida queda:
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